Nous allons étudier ici le modèle BS dans sa forme simple avant l’apport de Robert Merton sur la volatilité déterministe et les taux aléatoires.

Considérons un marché sans coût de transaction où sont échangés 2 types d’actifs avec absence de possibilité d’arbitrage: risqué et non risqué. La cotation est réalisée en continue à un taux constant r. Le spot du sous-jacent à l’émission est noté S₀ et son évolution est déterminée par un mouvement brownien. On notera µ la tendance ou dérive (i.e. l’espérance de rentabilité du support sur son historique de cours), σ la volatilité du sous-jacent (le paramètre de diffusion) et W_t un mouvement brownien.

Cette équation est donc une équation différentielle stochastique (EDS) qui régit un mouvement brownien géométrique (MBG) S_t avec µ et σ connues et constants. On peut déduire la dérive du mouvement :

 

Car d’après le lemme d’Itô on obtient pour ln(S_t) :

Ce qui nous permet d’écrire :

On retrouve donc bien le terme de dérive du mouvement.

On peut également montrer que ce MBG est log-normalement distribué en rappelant que S₀ ne peut être négatif car le cours d'une action n'est jamais négatif en vertu de la responsabilité limité de l'actionnaire:

S_t est donc log-normal et la solution de S_t s’écrit :

Définissons à présent la valeur β_t de l’actif sans risque en t.  On peut définir le rendement de l’actif sans risque au taux constant r comme la différentielle de β_t :

La solution de cette équation est :

  Introduisons à présent une option européenne avec pour sous-jacent S_t. Notons qu’aucun dividende n’est versé.

L'intuition de F. Black et M. Scholes s'exprime par la recherche dans les stratégies autofinançantes de celle(s) qui duplique(nt) le call et dont la ou les valeur(s) s'exprime(nt) comme une fonction déterministe de S_t et de t que l'on notera  π(t, S_t).  L'idée est donc qu'il existe un portefeuille autofinancé composé du sous-jacent et de l'actif sans risque dont la valeur en T est égale au payoff Ψ_T  de l'option. On tente donc de trouver le processus π_t qui représente la valeur d'un portefeuille autofinançant et dont la valeur en T est celle du payoff à dupliquer. L'expression π doit donc être suffisamment régulière au sens d'Itô ; i.e. la fonction π doit être 1 fois continûment différentiable sur t et 2 fois continûment différentiable sur S_t. Sous ces conditions, nous pouvons appliquer la formule d'Itô :

De notre 1^ère équation 

on déduit  et on remplace :

On cherche à présent à respecter l'égalité suivante ()

 

Afin que π(t, S_t) représente à tout instant t la valeur d'un tel portefeuille. Remanions cette égalité :

On a ainsi obtenu l'équation aux dérivées partielles de Black & Scholes (EDP d'évaluation). A ce stade il reste à vérifier que le portefeuille autofinançant synthétise l'option :

Rappelons que nous sommes en absence de possibilité d'arbitrage, ce qui implique que la valeur du portefeuille dupliquant est, à chaque instant, égale à celle du titre dupliqué :

Dans le cas où le payoff est égal à celui

-          d'un call ( )

-          ou d'un put ( )

la solution est donnée par la formule de Black & Scholes :

Notons que N(u) fait référence à la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite :

Sources: F. Black and M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy (73)

R. Portait and Patrice Poncet, Finance de marché, intruments base, produits dérivés, portefeuilles et riques, Dalloz (08)

John Hull, Options, Futures et autres actifs dérivés, Pearson Education, (07)

Rappelons la formule de BS obtenue dans le précédent article:



Sous une approche probabiliste, on peut démontrer cette formule grâce à l'espérance du payoff actualisé au taux sans risque. Tout cela sous l'hypothèse d'un monde risque-neutre sous Q. L'équation de départ devient donc:
On obtient sous la probabilité Q la solution suivante pour une durée T-t:

D'après les résultats obtenus précédemment, on sait:

Poursuivons dans le cas de notre Call. On peut démontrer que (comme pour le binomial) :

Car d₂ représente la borne inférieure de l'option arrivée à maturité out the money :

On pourra, à partir de cette relation démontré exprimer la fonction d'évaluation de BS comme une fonction de t et x et écrire: C(t, S)=F(t, S)

  L'intégration de dividende à taux constant implique que l'hypothèse µ = r avec r le taux sans risque ne tienne plus. Rappelons l'équation de départ:

En effet, le montant du dividende versé en t+dt est proportionnel à la valeur S_t,  proportionnel à la durée dt de la période.  On peut écrire la rentabilité de l'actif sous-jacent ainsi:

On peut alors réécrire l'égalité de départ:

On pourra aisément donner:

Intuitivement on comprend que dans notre monde risque-neutre, le taux de croissance du prix du sous-jacent est égale au taux sans risque - le taux de rémunération.

 

On peut alors écrire la valeur du call ainsi (Equation de Merton):

Sources: F. Black and M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy (73)

R. Merton, The Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics & Management Science (73)

R. Portait and Patrice Poncet, Finance de marché, intruments base, produits dérivés, portefeuilles et riques, Dalloz (08)
John Hull, Options, Futures et autres actifs dérivés, Pearson Education, (07)