Les Options

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Jeudi 16 avril 2009 4 16 /04 /Avr /2009 21:18

Cox, Ross & Rubinstein (modèle à une période)

Afin de mieux comprendre le modèle binomial, considérons le cas où l'on a seulement deux états possibles. Le sous-jacent en t = 0 vaut S₀ et en t = 1 peut augmenter de u avec une probabilité de p ou diminuer de d avec une probabilité de (p-1). Si on intègre le rendement de l'actif sans risque R = 1+r, en absence d'opportunité d'arbitrage (AOA), d < 1+r < u. (Notre portefeuille se compose donc d'un actif et d'un actif sans risque)

On peut alors écrire le payoff en cas de hausse en t = 1: C₁^u =max (Su - K, 0)

On peut alors écrire le payoff en cas de baisse en t = 1: C₁^u =max (Sd - K, 0)

Ce résultat est obtenu par la duplication de cette prise de position. On va représenter notre portefeuille comme la combinaison de nos deux actifs avec α la quantité d'actif risqué et β la quantité d'actif sans risque: V₀ = αS+β. On représente à nouveau en t = 1, le portefeuille en cas de hausse, puis de baisse.

V₁^u = αSu+β (1+r)

V₁^d = αSd+β (1+r)

Pour que le portefeuille duplique l'option, on cherche à résoudre le système suivant:

C₁^u = αSu+β (1+r)

C₁^d = αSd+β (1+r)

On en déduit donc l'expression suivante de notre portefeuille de couverture en t = 0:

Puisqu'en AOA la prime de l'option en t = 0 est égale à la valeur du portefeuille de couverture, V₀ = C₀. Pour un PUT, le raisonnement est le même:

On remarquera que les probabilités des événements de hausse comme de baisse n'interviennent pas. Pour les faire apparaître on va supposer que les pondérations de C₁^u et C₁^d dans la relation suivante correspondent à des probabilités risque-neutre. On notera au passage que ces pondérations sont non nulles et de somme unitaire. Nous les nommerons q et (1-q). Les probabilités risque-neutre impliquent que les agents soient indifférents aux primes de risques (risk premium) puisque tous les actifs ont la même espérance de rentabilité que celle d'un actif sans risque.

On pourra alors écrire l'espérance du payoff en t = 1 (E^q[C₁] = q C₁^u+(1-q) C₁^d) et réécrire le Call à l'état initial:

De même en rajoutant une période on pourra vérifier:

Jusqu'à N période:

Sources: J. Cox, S. Ross, M. Rubinstein, Option Pricing, a simplified approach, Journal of Financial Economics (79)

R. Portait and Patrice Poncet, Finance de marché, intruments base, produits dérivés, portefeuilles et riques, Dalloz (08)
John Hull, Options, Futures et autres actifs dérivés, Pearson Education, (07)

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Par Gilles De Truchis - Publié dans : Les Options
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Mercredi 8 avril 2009 3 08 /04 /Avr /2009 17:41

Introduction aux Stratégies d'Options

Présentons pour commencer les différents profils de gain des options. Les options sont le droit et non l'obligation d'acheter ou de vendre à échéance un sous-jacent. On peut donc acheter le droit d'acheter à échéance (nous nommerons cette opération LONG CALL et C₀ la prime en t = 0), acheter le droit vendre à échéance (nous nommerons cette opération LONG PUT et P₀ la prime en t = 0), et inversement vendre le droit d'acheter à terme (nous nommerons cette opération SHORT CALL), ainsi que vendre le droit de vendre à terme (nous nommerons cette opération SHORT PUT).

On peut combiner ces profils de gain pour chercher à minimiser les pertes.

LONG Straddle

Cette stratégie se compose d'un LONG CALL et d'un LONG PUT de même strike price (K) et de même échéance. On monte cette stratégie lorsqu'on anticipe une forte variation à la hausse ou à la baisse du cours du sous-jacent. Si le spot price s'écarte suffisamment de K on enregistre un gain et si le spot price se rapproche de K la perte tend vers -C₀-P₀.

SHORT Straddle

Cette stratégie se compose d'un SHORT CALL et d'un SHORT PUT de même strike price (K) et de même échéance. Elle correspond aux anticipations inverses du LONG Straddle

LONG Strangle (ou bottom vertical combination)

Cette stratégie se compose d'un LONG CALL (OTM) et d'un LONG PUT (OTM) de strike price

(K_{2, 1}) différent mais de même échéance avec K₁ < K₂. L'investisseur va ici limiter ses pertes mais anticipe une variation plus important encore que dans le cas du Straddle.

SHORT Strangle (ou top vertical combination)

Cette stratégie se compose d'un SHORT CALL (OTM) et d'un SHORT PUT (OTM) de strike price (K_{2, 1}) différent mais de même échéance avec K₁ < K₂. Elle correspond aux anticipations inverses du LONG Strangle.

Strip

Cette stratégie se compose d'un LONG CALL et deux LONG PUT de même strike price (K) et de même échéance. Elle correspond aux anticipations d'une forte variation du cours à la hausse ou à la baisse mais avec une préférence à la baisse.

Strap

Cette stratégie se compose d'un LONG PUT et deux LONG CALL de même strike price (K) et de même échéance. Elle correspond aux anticipations d'une forte variation du cours à la hausse ou à la baisse mais avec une préférence à la hausse.

Bull Call Spread

Le bull spread est l'un des spreads les plus populaires. Il est composé d'un LONG CALL (ITM) à un prix d'exercice donné et d'un SHORT CALL (OTM) à un prix d'exercice supérieur, les deux portant sur le même sous-jacent et la même date d'échéance. L'agent anticipe une hausse modérée. Cette stratégie limite les avantages en cas de hausse et les pertes en cas de baisse.

Remarque: Il existe aussi un Bull Put Spread créé à partir d'un LONG PUT (OTM) avec un prix d'exercice faible et d'un SHORT PUT (ITM) à un prix d'exercice supérieur. Contrairement au Bull Call Spread, il engendre un flux initial positif (en ignorant les dépôts de garantie) et un flux final négatif ou nul. C'est pourquoi, il est aussi appelé Bull Put Credit Spread.

Bear Call Spread

Le bear spread est un des spreads les plus populaires également. Il est composé d'un LONG CALL (OTM) à un prix d'exercice donné et d'un SHORT CALL (ITM) à un prix d'exercice inférieur, les deux portant sur le même sous-jacent et la même date d'échéance. L'agent anticipe une baisse modérée. Cette stratégie limite les avantages en cas de baisse et les pertes en cas de hausse.

Remarque: Il existe aussi un Bear Put Spread créé à partir d'un LONG PUT (ITM) avec un prix d'exercice faible et d'un SHORT PUT (OTM) à un prix d'exercice inférieur. Contrairement aux Bear Call Spread, ils engendrent un flux initial positif (en ignorant les dépôts de garantie) et un flux final négatif ou nul. C'est pourquoi, il est aussi appelé Bear Put Credit Spread.

LONG CALL Butterfly Spread

Cette stratégie va impliquer 4 options et 3 strike price différents (K₁< K₂< K₃):

C_0,1: Un LONG CALL (ITM) pour K₁
C_0,2 = C_0,3:Deux SHORT CALL (ATM) pour K₂ (K₂ = (K₁ + K₃) / 2)
C_0,4: Un LONG CALL (OTM) pour K₃

Le bénéfice est d'autant plus grand que le cours tend vers K₂ mais les pertes restent limitées si le cours s'écarte même fortement. L'investisseur anticipe donc une faible variation du cours.

De même il existe une stratégie LONG PUT Butterfly Spread composée d'un LONG PUT (OTM), de deux SHORT PUT (ATM) et d'un LONG PUT (ITM).

SHORT CALL Butterfly Spread

Cette stratégie va impliquer 4 options et 3 strike price différents (K₁< K₂< K₃):

C_0,1: Un SHORT CALL (ITM) pour K₁
C_0,2 = C_0,3:Deux LONG CALL (ATM) pour K₂ (K₂ = (K₁ + K₃) / 2)
C_0,4: Un SHORT CALL (OTM) pour K₃

Le bénéfice est d'autant plus grand que le cours tend vers K₂ mais les pertes restent limitées si le cours s'écarte même fortement. L'acheteur anticipe donc une faible variation du cours.

De même il existe une stratégie SHORT PUT Butterfly Spread composée d'un SHORT PUT (ITM), de deux LONG PUT (ATM) et d'un SHORT PUT (OTM).

LONG Condor

Une stratégie LONG Condor va se composer ainsi:

1. SHORT CALL (ITM)

2. LONG CALL (ITM)

3. SHORT CALL (OTM)

4. LONG CALL (OTM)

Avec K₂ < K₁ < K₃ < K₄

C'est en fait la combinaison d'un Bull Call Spread et d'un Bear Call Spread

SHORT Condor

Une stratégie SHORT Condor va se composer ainsi:

1. LONG CALL (ITM)

2. SHORT CALL (ITM)

3. LONG CALL (OTM)

4. SHORT CALL (OTM)

Avec K₂ < K₁ < K₃ < K₄

C'est en fait la combinaison d'un Bear Put Spread et d'un Bull Put Spread

Conclusion

Les stratégies d'options peuvent se décomposer en diverses catégories. Les stratégies Spread sont des options pour lesquelles on prend des positions sur au moins deux options de même type (Bull Spread, Bear Spread, Butterfly Spread...). Les stratégies de combinaison consistent à prendre position sur les deux types d'options, Call et Put (Strangle, Straddle, Strip, Strap...). Il existe d'autres types de stratégies, d'autres classifications de stratégies et surtout d'autres stratégies plus complexes. Les Calendar Spread, par exemple, désignent des stratégies sur des options dont les échéances sont différentes mais le Strike price est identique. Les Calendar Spread peuvent donc être neutres (neutral) si les options sont ATM, haussiers (bullish) si les options ont un strike price au dessus du cours, et baissiers (bearish) si les options ont un strike price au dessous du cours. On peut complexifier encore en montant des stratégies où les strike price sont différents ainsi que les dates d'échéance: C'est le cas des Diagonal Spread.

Sources:

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Par Gilles De Truchis - Publié dans : Les Options
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Samedi 28 mars 2009 6 28 /03 /Mars /2009 11:55

Les Grecs

Durant la durée de vie de l'option, les différents paramètres la composant varient. Il est donc nécessaire de mesurer la sensibilité de l'option face à la variation d'un paramètre pour optimiser son utilisation. Ces différentes sensibilités sont calculées grâce aux dérivées partielles du modèle et nommées grecs. Nous démontrerons les plus utilisées de ces dérivées pour un Call:

Commençons par le delta (δ):

Le delta mesure la sensibilité de la valeur de l'option à la variation du sous-jacent. Repartons du résultat sans dividendes:

Rappelons la parité du call-put: P=C-S_t+Ke^-r(T-t)

Cette simplification faite on peut aisément calculer delta:

Avec extension de Merton:

En découle gamma (γ):

Gamma est la dérivée seconde du modèle et mesure la sensibilité du delta à une variation du prix du sous-jacent. Cela correspond aux propriétés de convexité ou concavité du portefeuille. Notons que γ_c = γ_p.

Avec extension de Merton:

Continuons avec vega (ν):

Nous allons remettre en cause ici une hypothèse du modèle qui voulait que la volatilité du sous-jacent soit constante. Dans la réalité, un agent doit pour mesurer la sensibilité d'une option à la variation de la volatilité.

Grâce à la relation simplificatrice on peut écrire:

Avec extension de Merton:

Poursuivons avec thêta (θ):

Le thêta est le résultat de la dérivée partielle par rapport à (T-t) et donc la sensibilité au passage du temps.

Avec extension de Merton:

L'influence du taux d'intérêt rho (ρ):

C'est la dérivée partielle de la prime par rapport à r et donc la sensibilité aux variations du taux d'intérêt.

Avec extension de Merton: la dérivée reste inchangée...

L'élasticité :

L'élasticité mesure la sensibilité du prix de l'option à une variation de 1 % du cours du sous-jacent. Il s'agit de la sensibilité de l'option.

Le point mort :

Le point mort ou break-even point (bep) est le niveau de cours que doit atteindre le sous-jacent à l'échéance pour que l'investisseur commence à dégager un bénéfice.

Le premium :

Le premium est le pourcentage de variation nécessaire du sous-jacent, pour qu'à l'échéance l'option commence à dégager du bénéfice.

La Parité :

La parité peut-être comprise comme le nombre d'options nécessaires pour acquérir le sous-jacent.

Sources: F. Black, How to Use the Holes in Black&Scholes, Journal of Applied Corporate Finance (89)

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Mercredi 25 février 2009 3 25 /02 /Fév /2009 21:14

Black & Scholes (Extension de Merton)

Reprenons à partir de la relation suivante obtenue précédemment et justifions l'extension de Merton:

On remplace par la valeur de S

Grâce à la mise en fonction on abouti à:

Cela implique qu'une option dont le sous-jacent ne rémunère pas, équivaut en t, ceteris paribus, une option dont le support rémunère au taux c.

On retrouve donc l'équation de Merton:

Sources: F. Black and M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy (73)

R. Merton, The Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics & Management Science (73)

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Mercredi 25 février 2009 3 25 /02 /Fév /2009 15:41

Black & Scholes (Approche probabiliste)

Rappelons la formule de BS obtenue dans le précédent article:

Sous une approche probabiliste, on peut démontrer cette formule grâce à l'espérance du payoff actualisé au taux sans risque. Tout cela sous l'hypothèse d'un monde risque-neutre sous Q. L'équation de départ devient donc:

On obtient sous la probabilité Q la solution suivante pour une durée T-t:

D'après les résultats obtenus précédemment, on sait:

Poursuivons dans le cas de notre Call. On peut démontrer que (comme pour le binomial) :

Car d₂ représente la borne inférieure de l'option arrivée à maturité out the money :

On pourra, à partir de cette relation démontré exprimer la fonction d'évaluation de BS comme une fonction de t et x et écrire: C(t, S)=F(t, S)

L'intégration de dividende à taux constant implique que l'hypothèse µ = r avec r le taux sans risque ne tienne plus. Rappelons l'équation de départ:

En effet, le montant du dividende versé en t+dt est proportionnel à la valeur S_t, proportionnel à la durée dt de la période. On peut écrire la rentabilité de l'actif sous-jacent ainsi:

On peut alors réécrire l'égalité de départ:

On pourra aisément donner:

Intuitivement on comprend que dans notre monde risque-neutre, le taux de croissance du prix du sous-jacent est égale au taux sans risque - le taux de rémunération.

On peut alors écrire la valeur du call ainsi (Equation de Merton):

Sources: F. Black and M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy (73)

R. Merton, The Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics & Management Science (73)

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