Nous allons nous préoccuper ici d'un titre financier plus ou moins connu de tous: l'obligation. L'obligation est un moyen de financement pour la société émettrice qui garantie au créancier le versement de coupons (sauf si nous sommes dans le cas de zéro-coupon: ZC (6% du marché)) à une fréquence définit à l'avance durant toute la durée de vie du titre et à l'échéance (ou date de règlement), le remboursement. La valeur nominale (V_n) n'est pas toujours la valeur de remboursement (V_r) et l'écart éventuel des deux constitue la prime de remboursement. Les coupons peuvent être fixes (51% du marché) ou variable (41% du marché)  si le taux d'intérêt, est indexé sur un indice. Comme pour d'autres marchés, l'obligation est émise sur le marché primaire  et négociée sur le marché secondaire. On distingue différents types d'émetteurs, mais les principaux sont l'Etat et le parapublic (44%), les institutions financières (50%) et les entreprises (6%). On considère que les titres négociés sur une échéance inférieure à 2 ans relèvent du marché monétaire et que ceux négociés sur une échéance supérieure à 7 ans relèvent du marché obligataire. Entre ces échéances cela dépend du titre.

Les obligations à taux fixes

Elles sont caractérisées par un taux facial fixe qui fait que les coupons versés seront de même montant jusqu'à la date de règlement. Le montant des coupons est calculé à partir de la valeur nominale de l'obligation (V_n) ramenée à 100 et du taux facial (i). Ce montant est appelé cours plein coupon (dirty price). Le cours plein coupon est à différencier du cours pied du coupon (clean price) qui correspond au cours plein coupon diminué du coupon couru (accrued interest) ramener à 100 également. Ce dernier devra être calculé pro rata temporis.

La valeur d'émission n'est pas forcément égale à la valeur nominale. Mais si tel est le cas, on dit que l'obligation est émise au pair (V_τ = V_n).

L'évaluation de l'obligation

On peut actualiser la valeur des coupons au taux rendement actuariel y _τ donné sur le marché pour des obligations de même échéance et de même spread de signature. On obtient alors la valeur de l'obligation V_τ  à un instant quelconque τ, grâce au cours plein coupon et la valeur nominale ramenée à 100:

Notons que les taux sont actualisés en temps discret. Pour calculer le cours pied du coupon il suffit de retrancher le coupon couru:

On peut également calculer la valeur théorique de l'obligation à l'émission en fonction d'un taux de rendement actuariel donné y_τ en τ et y₀ le taux de référence du marché en t = 0.

Le Taux de Rendement Actuariel

Il existe donc un taux, qui, appliqué à tous les flux, donne le prix V_τ  de l'obligation à l'émission. Posons y*  le taux d'intérêt recherché, on peut calculer à partir des chroniques de flux, le taux de rendement actuariel (TRA) ainsi:

Ce  qu'il faut comprendre,  c'est que dans le premier cas y est donné pour calculer le prix de l'obligation et dans le second cas on recherche y* en fonction du prix d'une obligation existante.

Le Taux au Pair

De la même manière que pour le TRA, on peut rechercher le taux facial qui permet d'égaliser la valeur de l'obligation et son nominal. Ce taux qui rendrait l'obligation au pair est appelé taux au pair (par yield). L'inconnue devient alors i*.

 

Pour les EFI option finance

Certains seront peut-être perturbés puisque la cotation semble différente à priori par rapport au cours de Mr Bertrand. Cela est dû aux hypothèses simplificatrices utilisées pour l'évaluation.

1.       En effet, les obligations ont toutes un nominal de 100.

2.       Le calcul est celui de la valeur de l'obligation en t = 0 (pour les partiels).

3.       La valeur de remboursement n'est pas différente du nominal  V_n  = V_r.

4.       Le calcul du coupon couru n'est pas fait pro rata temporis.

5.       Au pair, y = i.

Pour preuve, en ne tenant plus compte de τ et si l'on fixe V_n = 100:

On retrouve alors la formule utilisée en cours:

Dans le cours, il est proposé une méthode pour évaluer l'obligation en P_t  qui se base sur l'hypothèse 3 et également sur l'hypothèse 5. Dans la réalité, y  est différent de i mais faiblement et dans le modèle sans restriction, on sait que la valeur nominale peut ne pas être égale à la valeur de remboursement. Ce qui déstabilise les relations du cours suivantes:

 

La Sensibilité (modified duration)

A travers la sensibilité, on cherche à mesurer le risque de taux qui pèse sur le titre. Ce risque augmente avec l'échéance. La sensibilité mesure donc la variation de la valeur de l'obligation suite à une variation donnée du taux d'intérêt △y. La sensibilité est exprimée en %. Pour cela, on estime S = -dV / Vdr. Repartons de la relation suivante:

La Duration

La duration peut s'interpréter comme le barycentre des flux actualisés (entre 0 et T) et donc la durée de vie moyenne de tous les flux.  Elle va servir à immuniser le portefeuille d'obligation contre le risque de réinvestissement des coupons. Sur un ZC, la duration sera égale à la durée de vie du ZC puisque le risque de réinvestissement est nul. La duration est un horizon exprimé en année. Au-delà de cet horizon, la valeur de l'obligation et des coupons réinvestis, quelque soit l'évolution du taux d'intérêt est la même.

 

La Convexité

La valeur de l'obligation V surévalue les effets d'une hausse des taux y et sous-évalue les effets d'une baisse. Cela est dû à la convexité de la relation entre le prix de l'obligation et les taux d'intérêts. La convexité est donnée par la dérivée seconde de la valeur de l'obligation par rapport au taux d'intérêt.

La convexité du titre C  est ainsi donnée: