Afin de mieux comprendre le modèle binomial, considérons le cas où l'on a seulement deux états possibles. Le sous-jacent en t = 0 vaut S₀ et en t = 1 peut augmenter de u avec une probabilité de p ou diminuer de d avec une probabilité de (p-1).  Si on intègre le rendement de l'actif sans risque R = 1+r, en absence d'opportunité d'arbitrage (AOA), d < 1+r < u. (Notre portefeuille se compose donc d'un actif et d'un actif sans risque)

 

On peut alors écrire le payoff en cas de hausse en t = 1: C₁^u =max (Su - K, 0)

On peut alors écrire le payoff en cas de baisse en t = 1: C₁^u =max (Sd - K, 0)

 

Ce résultat est obtenu par la duplication de cette prise de position. On va représenter notre portefeuille comme la combinaison de nos deux actifs avec α la quantité d'actif risqué et β la quantité d'actif sans risque: V₀ = αS+β. On représente à nouveau en t = 1, le portefeuille en cas de hausse, puis de baisse.

V₁^u = αSu+β (1+r)

V₁^d = αSd+β (1+r)

Pour que le portefeuille duplique l'option, on cherche à résoudre le système suivant:

C₁^u = αSu+β (1+r)

C₁^d = αSd+β (1+r)

On en déduit donc l'expression suivante de notre portefeuille de couverture en t = 0:

Puisqu'en AOA la prime de l'option en t = 0 est égale à la valeur du portefeuille de couverture, V₀ = C₀. Pour un PUT, le raisonnement est le même:

On remarquera que les probabilités des événements de hausse comme de baisse n'interviennent pas. Pour les faire apparaître on va supposer que les pondérations de C₁^u et C₁^d dans la relation suivante correspondent à des probabilités risque-neutre. On notera au passage que ces pondérations sont non nulles et de somme unitaire. Nous les nommerons q et (1-q). Les probabilités risque-neutre impliquent que les agents soient indifférents aux primes de risques (risk premium) puisque tous les actifs ont la même espérance de rentabilité que celle d'un actif sans risque.

On pourra alors écrire l'espérance du payoff en t = 1  (E^q[C₁] = q C₁^u+(1-q) C₁^d) et réécrire le Call à l'état initial:

De même en rajoutant une période on pourra vérifier:

Jusqu'à N période:

 

 

 

Sources: J. Cox, S. Ross, M. Rubinstein, Option Pricing, a simplified approach, Journal of Financial Economics (79)

R. Portait and Patrice Poncet, Finance de marché, intruments base, produits dérivés, portefeuilles et riques, Dalloz (08)
John Hull, Options, Futures et autres actifs dérivés, Pearson Education, (07)