Rappelons la formule de BS obtenue dans le précédent article:



Sous une approche probabiliste, on peut démontrer cette formule grâce à l'espérance du payoff actualisé au taux sans risque. Tout cela sous l'hypothèse d'un monde risque-neutre sous Q. L'équation de départ devient donc:
On obtient sous la probabilité Q la solution suivante pour une durée T-t:

D'après les résultats obtenus précédemment, on sait:

Poursuivons dans le cas de notre Call. On peut démontrer que (comme pour le binomial) :

Car d₂ représente la borne inférieure de l'option arrivée à maturité out the money :

On pourra, à partir de cette relation démontré exprimer la fonction d'évaluation de BS comme une fonction de t et x et écrire: C(t, S)=F(t, S)

  L'intégration de dividende à taux constant implique que l'hypothèse µ = r avec r le taux sans risque ne tienne plus. Rappelons l'équation de départ:

En effet, le montant du dividende versé en t+dt est proportionnel à la valeur S_t,  proportionnel à la durée dt de la période.  On peut écrire la rentabilité de l'actif sous-jacent ainsi:

On peut alors réécrire l'égalité de départ:

On pourra aisément donner:

Intuitivement on comprend que dans notre monde risque-neutre, le taux de croissance du prix du sous-jacent est égale au taux sans risque - le taux de rémunération.

 

On peut alors écrire la valeur du call ainsi (Equation de Merton):

Sources: F. Black and M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy (73)

R. Merton, The Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics & Management Science (73)

R. Portait and Patrice Poncet, Finance de marché, intruments base, produits dérivés, portefeuilles et riques, Dalloz (08)
John Hull, Options, Futures et autres actifs dérivés, Pearson Education, (07)