Lien: Introduction au modèle binomial

Comme pour le modèle de Black & Scholes on va rechercher une stratégie de duplication puis chercher à égaliser la prime avec le coût de gestion du portefeuille dupliquant. Mais cette fois on va interpréter la prime comme l'espérance  risque-neutre des flux actualisés futurs. Cette opération se fera à partir de l'échéance (backward iterations).

Construisons un arbre binomial où à la date N au nœud (N, j) on a:

Rappelons que Ψ représente le payoff au nœud (N, j). 

Expliquons à présent l'arbre ci-dessus. On a superposé les duplications sur les périodes unitaires successives jusqu'à (N-1, N). "A chaque sous-période (i, i+1) on construit donc un portefeuille de couverture. La valeur V_i^- de ce portefeuille en i (résultant des états du monde et des stratégies suivies entre 0 et i-1) constitue l'investissement initial de la période (i, i+1) de sorte que V_i⁺=V_i^-: la stratégie est donc autofinançante. La valeur du portefeuille suit le processus décrit par l'arbre reproduit sur le diagramme 2 ci-après."

Afin d'estimer la valeur de l'option, on va utiliser la probabilité de risque-neutre pour évaluer le prix de l'option en tant qu'espérance.  L'option va alors suivre une martingale:

Soit où C_i est le prix en date i de l'option de maturité N. On a alors:

Relation issue du raisonnement du modèle à une période et 2 états. Qui donne en tout nœud (i, j):

Ainsi sous la probabilité risque-neutre de l'événement

Sources: J. Cox, S. Ross, M. Rubinstein, Option Pricing, a simplified approach, Journal of Financial Economics (79)

John Hull, Options, Futures et autres actifs dérivés, Pearson Education, (07)