Ce n'est pas réellement un prolégomène à l'économétrie que de présenter en premier lieu les procédures de choix des retards dans des modèles autorégressifs multivariés (VAR) mais vous me le pardonnerez. Jusqu'à présent l'économétrie m'avait été présentée uniquement ou presque sous sa forme théorique et je découvre à présent l'économétrie appliquée notamment à travers le logiciel RATS. On aurait pu utiliser d'autres logiciels tels que STATA ou SAS pour les tests qui vont être proposés.
Rapport de Vraisemblance:
Soit un VAR(p) dont on cherche la structure de retard optimal et qui contient k équations. L'approche sera sensiblement la même que pour un AR(p) à quelques ajustements près. On pose d'abord notre modèle contraint VAR (d) avec d le nombre de retards p moins le nombre de restrictions du modèle r. On considère l'hypothèse nulle H0: VAR(d) et l'hypothèse H1:VAR(p) afin de mettre en place un test de rapport de vraisemblance ou LR multivarié (Likelihood Ratio) que l'on notera Λ. On estime en premier lieu notre VAR(p) avec les MCO et on sauvegarde les résidus pour calculer la matrice de variance/covariance ΩNC et son déterminant | ΩNC | que l'on utilisera dans la statistique de test. On procède de la même manière pour notre VAR(d) et on obtient ΩC et son déterminant | ΩC |. La statistique de test est alors exprimée ainsi:
Λ = T (log | ΩNC | - log | ΩC |) ~χq² avec T le nombre d'observations, q représente les degrés de liberté de la χ² avec
q = k²*r.
Akaike's information criterion (AIC):
La structure de retard peut également être approchée par le critère d'Akaike mais version multivarié. La statistique de test est ainsi donnée:
AIC = T*log | ΩNC |+2(k²*p)
On réitère cette procédure pour chaque structure de retard de notre VAR(d) et on choisi p tel q Min[AIC]
Bayesian information criterion or Schwarz information Criterion (BIC, SBC où SIC):
La structure de retard peut également être approchée par le critère de Schwarz mais version multivarié. La statistique de test est ainsi donnée:
SIC = T*log | Ω |+ (k²*p)*log T
On réitère cette procédure pour chaque structure de retard de notre VAR(d) et on choisi p tel q Min [SIC]
Procèdures sous RATS
Likelihood Ratio
display 'LR'
do lag =0,nlag-1
system 1 2 3
variable x y z
lags 1 to nlag
det constant
end(system)
estimate(noprint) nbeg+nlag nend 1
declare symmetric sig(3,3)
vcv(noprint,matrix=sig) nbeg+nlag nend
# 1 2 3
system 4 5 6
variable x y z
if lag==0
{
}
else
{
lags 1 to lag
}
det constant
end(system)
estimate(noprint) nbeg+nlag nend_n 4
declare symmetric sig(3,3)
vcv(noprint,matrix=sig) nbeg+nlag nend_n
# 4 5 6
compute df = 9*(nlag-lag)
display 'Nombre de retard(s): ' lag
display 'Nombre de restriction(s): ' nlag-lag
display 'Degrees of freedom: ' df
ratio(degrees=df) nbeg+nlag nend_n
# 1 2 3
# 4 5 6
end do lag
Akaike's information criterion
display 'AIC'
do lag =0,nlag
system(model=usamodel)
variable x y z
if lag==0
{
}
else
{
lags 1 to lag
}
det constant
end(system)
estimate(noprint,resids=aicr) nbeg+nlag nend_n
compute aic = %nobs*%logdet+lag*18
display 'nombre de retard(s): ' lag
display %concat(%string(4-lag),' restriction(s) for aic') aic
end do lag
Bayesian information criterion
display 'BIC'
do lag =0,4
system(model=usamodel)
variable x y z
if lag==0
{
}
else
{
lags 1 to lag
}
det constant
end(system)
estimate(noprint,resids=bicr) nbeg+nlag nend_n
compute bic = %nobs*%logdet+log(%nobs)*lag*9
display 'nombre de retard(s): ' lag
display %concat(%string(4-lag),' restriction(s) for bic') bic
end do lag
Rappelons la parité du call-put: P=C-St+Ke-r(T-t)
Avec extension de Merton:
Avec extension de Merton:
Avec extension de Merton:
Avec extension de Merton:
